Estabilidad en sistemas cuadráticos del tipo Kolmogorov describiendo interacciones entre dos especies. Una breve revisión
DOI:
https://doi.org/10.17268/sel.mat.2021.01.13Palabras clave:
Modelo depredador-presa, respuesta funcional, ciclos, curva separatriz, estabilidad, función de LyapunovResumen
La dinámica de poblaciones es un tema relevante en Biomatemática, siendo el estudio del comportamiento a largo plazo de los modelos de interacción entre especies, uno de sus problemas centrales. Gran parte de estas relaciones son descritas por sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), teniendo como objetivos principales el estudio de la estabilidad de las soluciones.
En este documento describimos principalmente el comportamiento dinámico del modelo de depredación de Volterra. Además, hacemos una revisión de algunos modelos de depredación derivados y una breve reseña de las propiedades dinámicas de modelos describiendo otras interacciones entre especies tales como: competencia, mutualismo, amensalismo y comensalismo, también descritos por sistemas EDO no lineales del tipo Kolmogorov de segundo orden.
El principal resultado obtenido para cada uno de estos modelos es la no existencia de ciclos límites; sin embargo, en uno de ellos existen condiciones en los parámetros para los cuales el único punto de equilibrio positivo es un centro, como sucede en el modelo original de Lotka-Volterra.
La metodología empleada en este trabajo es la usual para el análisis de modelos con puntos de equilibrio hiperbólicos, pero puede orientar el análisis de otros modelos más complicados.
Citas
Bazykin AD. Nonlinear Dynamics of interacting populations. Singapore: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. 1998.
Berryman AA, Gutierrez AP, Arditi R. Credible, parsimonious and useful predator-prey models - A reply to Abrams, Gleeson and Sarnelle, Ecology. 1995 76:1980-1985.
Birkhoff G, Rota GS. Ordinary Differential Equations (4th ed.) New York: John Wiley & Sons; 1989.
Braun M. Ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones. California: Grupo Editorial Iberoamérica; 1990.
Cheng KS. Uniqueness of a limit cycle for a predator-prey system, SIAM J. on Math. Anal. 1981; 12:541–548.
Chicone C. Ordinary differential equations with applications (2nd edition), New YorK: Springer; Texts in Applied Mathematics 34; 2006.
Clark CW. Bioeconomic modelling and fisheries managements. New York: John Wiley and Sons; 1985.
Clark CW. Mathematical Bioeconomic: The optimal management of renewable resources, (second edition). New York: John Wiley and Sons; 1990.
Coleman CS. Hilbert’s 16th. Problem: How Many Cycles? In: M. Braun, CS. Coleman and D. Drew (Ed). Differential Equations Model, Springer Verlag. 1983; 279-297.
Edelstein-Keshet L. Mathematical Models in Biology. SIAM; Classics in Applied Mathematics, 46; 2005.
Dumortier F, Llibre J, Art´es JC. Qualitative theory of planar differential systems. Berlin: Springer-verlag; 2006.
Freedman HI. Deterministic Mathematical Model in Population Ecology. New York: Marcel Dekker; 1980.
Gaiko VA. Global Bifurcation theory and Hilbert sixteenth problem, Mathematics and its Applications 559. New York: Kluwer
Academic Publishers; 2003.
Goh B-S. Management and Analysis of Biological Populations. New York: Elsevier Scientific Publ. Co.; 1980.
González-Olivares E y Mena-Lorca J. Análisis cualitativo de un modelo de pesquerías de acceso abierto. Invest. Mar., Valparaíso. 1994; 22:3-11.
González-Olivares E, Valenzuela-Figueroa S. and Rojas-Palma A. A simple Gause type predator-prey model considering social
predation, Mathematical Methods in the Applied Sciences, 2019; 42:5668-5686.
Hasík K. On a predator-prey system of Gause type. J. of Mathematical Biology. 2010(1):60:59-74.
Iannelli M, Pugliese A. An Introduction to Mathematical Population Dynamics. Italia: Springer; 2014.
Kot M. Elements of Mathematical Ecology. Cambridge: Cambridge University Press; 2003.
Kuang Y, Freedman HI. Uniqueness of limit cycles in Gause-type models of predator-prey systems. Mathematical Biosciences, 1988; 88:67-84.
Leslie PH. Some further notes on the use of matrices in population mathematics, Biometrica. 1948; 35:213-245.
May RM. Stability and complexity in model ecosystems (2nd edition), Princeton: Princeton University Press; 2001.
Maynard Smith J. Models in Ecology, New York: University Press, 1974.
Murray JD. Mathematical Biology I. An Introduction, (3rd ed.), New York: Springer; 2002.
Neal D. Introduction to Population Biology. Cambridge: Cambridge University Press; 2003.
Perko L. Differential equations and dynamical systems (3rd ed.) New York: Springer; 2001.
Schlomiuk D, Vulpe N. Global classification of the planar Lotka-Volterra differential systems according to their configurations of invariant straight lines, J. of Fixed Point Theory and Applications, 2010; 8:177-245.
Taylor RJ. Predation. London: Chapman and Hall; 1984.
Teixeira Alves M, Hilker FM. Hunting cooperation and Allee effects in predators, J. of Theoretical Biology, 2017; 419: 13-22.
Turchin P. Complex population dynamics. A theoretical/empirical synthesis, Monographs in Population Biology 35. Princeton:
Princeton University Press; 2003.
Descargas
Publicado
Cómo citar
Número
Sección
Licencia
Derechos de autor 2021 Eduardo González-Olivares, Alejandro Rojas-Palma
Esta obra está bajo una licencia internacional Creative Commons Atribución 4.0.
Los autores/as que publiquen en esta revista aceptan las siguientes condiciones:
- Los autores/as conservan los derechos de autor y ceden a la revista el derecho de la primera publicación, con el trabajo registrado con la licencia de atribución de Creative CommonsAtribución 4.0 Internacional (CC BY 4.0) , que permite a terceros utilizar lo publicado siempre que mencionen la autoría del trabajo y a la primera publicación en esta revista.
- Los autores/as pueden realizar otros acuerdos contractuales independientes y adicionales para la distribución no exclusiva de la versión del artículo publicado en esta revista (p. ej., incluirlo en un repositorio institucional o publicarlo en un libro) siempre que indiquen claramente que el trabajo se publicó por primera vez en esta revista.
- Se permite y recomienda a los autores/as a publicar su trabajo en Internet (por ejemplo en páginas institucionales o personales) antes y durante el proceso de revisión y publicación, ya que puede conducir a intercambios productivos y a una mayor y más rápida difusión del trabajo publicado(Consultar: efecto del acceso abierto).
