Euclidean space perturbed by a constant vector field and its relation to a Zermelo navigation problem
DOI:
https://doi.org/10.17268/sel.mat.2025.01.02Palavras-chave:
Finsler metric, ε-euclidian metric, Zermelo navigation problem, non-euclidean geometryResumo
In this work, the authors perturb the Euclidean plane with a constant vector field of the form W = (0, ε) with 0 ≤ ε < 1, which can be interpreted as wind currents affecting the movement of ships in a constant unidirectional way. It is observed that the resulting perturbed norm, called the ε-Euclidean metric, which is non-reversible, is a Finsler metric. In this way, a new non-Euclidean geometry is introduced. With this, the ε-Euclidean distance is induced and defined. This new way of measuring point-to-point distances can be interpreted, physically, as optimal travel time. Due to the non-reversibility of the ε-Euclidean metric, two types of circumferences are defined and characterized. Distance formulas (or optimal travel time) from point to line, from line to point, and from line to line are obtained, as well as a geometric construction technique for obtaining the distance from a point to a parabola, which can be adapted to other curves that simulate the Edge of a beach. Examples and graphs are presented for a better understanding of the work.
Referências
Antonelli PL, Miron R. Lagrange and Finsler geometry: applications to physics and biology. vol. 76. Springer Science & Business Media; 2013.
Ángel Javaloyes M, Pendás-Recondo E, Sáchez M. A General Model for Wildfire Propagation with Wind
and Slope. SIAM Journal on Applied Algebra and Geometry. 2023;7(2):414-39. Available from: https://doi.org/10.1137/22M1477866.
Randers G. On an Asymmetrical Metric in the Four-Space of General Relativity. Phys Rev. 1941 Jan;59:195-9. Available from: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRev.59.195.
Ebbinghaus HD, Peckhaus V. Ernst Zermelo: An approach to His Life and Work. 2nd ed.- Springer Berlin, Heidelberg; 2015.
Bao D, Robles C, Shen Z. Zermelo navigation on Riemannian manifolds. J Differential
Geom. 2004;66(3):377 435. Available from: https://projecteuclid.org/
journals/journal-of-differential-geometry/volume-66/issue-3/
Zermelo-navigation-on-Riemannian-manifolds/10.4310/jdg/1098137838.full.
León V, Solórzano Chávez NM, Mosquera Mosquera JE, Maganin J. Cónicas nas metricas da soma
e do Máximo. Revista Sergipana de Matemática e Educacao Matemática. 2025 abr;10(1):24–51. Available from: https://periodicos.ufs.br/ReviSe/article/view/21114.
So S. Recent Developments in Taxicab Geometry. CUBO, A Mathematical Journal. 2002 Jun;4(2):75–92. Available from: https://cubo.ufro.cl/index.php/cubo/article/view/1785.
de Oliveira Rufino E, Pontes Diógenes RJ. As Cónicas na geometria exponencial. Intermaths.
dez;4(2):224-44. Available from: https://periodicos2.uesb.br/index.php/intermaths/article/view/13635.
Chávez NMS, León VAM, Sosa LGQ, Moyses JR. Um problema de navegacao de Zermelo: Métrica de Funk. REMAT: Revista Eletrónica da Matemática. 2021;7(1):e3010. Available from: https://periodicos.ifrs.edu.br/index.php/REMAT/article/view/4574.
Chávez NMS, Moyses JR, León VAM. Sobre as parábolas de Funk. REMAT: Revista Eletrónica da Matemática. 2024;10(1):e3001. Available from: https://periodicos.ifrs.edu.br/index.php/REMAT/article/view/6680.
Souza MAd, Solórzano Chávez NM. Um espaco de randers especial como modelo concreto De Geometría nao Euclideana plana: Axioma da regua infinita de Randers. Revista Sergipana de Matemática e Educacao Matemática. 2024 dez;9(4):11–26. Available from: https://periodicos.ufs.br/ReviSe/article/view/20843.
Guo E, Mo X. The geometry of spherically symmetric Finsler manifolds. vol. VOL-1 of Springer Briefs in Mathematics. 1st ed. Springer Singapore; 2018.
Shen Z. Differential geometry of spray and Finsler spaces. Springer Science & Business Media; 2013.
Bao D, Chern SS, Shen Z. An introduction to Riemann-Finsler geometry. vol. 200. Springer Science & Business Media; 2012.
Shen YB, Shen Z. Introduction to modern Finsler geometry. World Scientific Publishing Company; 2016.
Guo E, Mo X, et al. The geometry of spherically symmetric Finsler manifolds. Springer; 2018.
Xia Q. Geometry And Analysis On Finsler Spaces. vol. 17. World Scientific; 2025.
Shen Z. Lectures on Finsler Geometry. vol. VOL-1. 1st ed. World Scientific; 2001.
Lima EL. Espacos Métricos. Projeto Euclides. IMPA; 2011.
Lima EL. Análise Real. v. 1. Colecao Matemática Universitária-IMPA; 2014.
Cheng X, Shen Z. Finsler Geometry: An approach via Randers spaces. vol. VOL-1. 1st ed. Science Press Beijing-Springer; 2012.
Shen Z. Finsler metrics with K = 0 and S = 0. Canad J Math. 2003;55(1):112 132. Available from: https://doi.org/10.4153/CJM-2003-005-6.
Bao D, Robles C, Shen Z. Zermelo navigation on Riemannian manifolds. Journal of Differential Geometry. 2004;66(3):377 435. Available from: https://doi.org/10.4310/jdg/1098137838.
Hilbert D. Mathematical problems (transl. MW Newson). Bull Amer Math Soc. 1902;8:437-79.
Downloads
Publicado
Como Citar
Edição
Seção
Licença
Este trabalho está licenciado sob uma licença Creative Commons Attribution 4.0 International License.
Os autores que publicam nesta revista aceitam as seguintes condições:
Os autores mantêm os direitos autorais e atribuem à revista o direito da primeira publicação, com o trabalho registrado com a licença de atribuição Creative Commons Atribución 4.0 Internacional (CC BY 4.0), que permite que terceiros usem o material publicado sempre que mencionarem a autoria do trabalho e os direitos autorais. Primeira publicação nesta revista.
Os autores podem fazer outros acordos contratuais independentes e adicionais para a distribuição não exclusiva da versão do artigo publicada nesta revista (por exemplo, incluí-la em um repositório institucional ou publicá-la em um livro), desde que afirme claramente que o trabalho Foi publicado nesta revista.
É permitido e recomendado aos autores que publiquem seus trabalhos na Internet (por exemplo, em páginas institucionais ou pessoais) antes e durante o processo de revisão e publicação, pois isso pode levar a trocas produtivas e a uma disseminação maior e mais rápida do trabalho. publicado (Consultar: efeito do acesso aberto).
